Problemas de Crescimento e Decaimento

Em muitos fenômenos naturais, quantidades crescem ou decaem a uma taxa proporcional a seu tamanho. Por exemplo, se y=f(t) for o número de indivíduos numa população animal ou de bactérias no instante t, então parece plausível esperar que a taxa de crescimento f(t) seja proporcional à população f(t); ou seja, f(t)=kf(t) para alguma constante k. De fato, sob as condições ideais (ambiente ilimitado, nutrição adequada, imunidade a doenças) o modelo matemático dado pela equação f(t)=kf(t) prediz o que acontece na realidade com bastante precisão. Outro exemplo ocorre na física nuclear, onde a massa de uma substância radioativa decai numa taxa proporcional à massa.

Na química, a taxa de uma reação unimolecular de primeira ordem é proporcional à concentração da substância. Em finanças, o valor de uma conta de poupança com juros contabilizados continuamente aumenta a uma taxa proporcional a esse valor.

Em geral, se y(t) é o valor de uma quantidade y no instante t, e se a taxa de variação de y com relação a t for proporcional a seu tamanho y(t) em qualquer instante, então

(dy/dt)=ky

 onde k é uma constante. A Equação é às vezes chamada lei de crescimento natural (se k > 0) ou lei de decaimento natural (se k < 0). Ela é chamada equação diferencial, pois envolve uma função desconhecida y e sua derivada dy/dt.

Não é difícil pensar em uma solução para a Equação. Essa equação nos pede para encontrar uma função cuja derivada seja uma constante multiplicada por ela própria. Qualquer função exponencial da forma y(t)=Ce^(kt), onde C é uma constante, satisfaz

y’ (t) = C[ke^(kt)] = k[Ce^(kt)] = ky(t).

Veremos adiante que qualquer função que satisfação dy/dt=ky deve ser da forma y(t)=Ce^(kt). Para perceber o significado da constante C, observamos que

y(0) = Ce^(k*0) = C.

Portanto, C é o valor inicial da função.